बायेस प्रमेय संभावना: सांख्यिकी अनुमानों को सुलझाना
बेयेस-प्रमेय-संभाव्यता-की-समझ:-एक-विश्लेषणात्मक-यात्रा
बेयेस-प्रमेय-सांख्यिकी-की-दुनिया-के-सबसे-आकर्षक-अवधारणाओं-में-से-एक-है।-रेवरेण्ड-थॉमस-बेयेस-के-नाम-पर-रखा-गया-यह-मूलभूत-प्रमेय-हमें-नई-साक्ष्य-या-जानकारी-पर-आधारित-हमारी-संभाव्यता-के-अनुमानों-को-अपडेट-करने-में-सक्षम-बनाता-है।
सूत्र-का-विभाजन
आइए-सूत्र-को-सीधे-ही-देखें:
P(A|B)-=-[P(B|A)-*-P(A)]-/-P(B)यहाँ-शामिल-मानकों-का-विस्तृत-विभाजन:
P(A|B):-घटना-A-के-होने-की-संभाव्यता-इस-शर्त-पर-कि-घटना-B-हो-चुकी-है।-इसे-हम-'पश्चातवर्ती-संभाव्यता'-कहते-हैं।P(B|A):-घटना-B-की-संभाव्यता-यह-शर्त-पर-कि-घटना-A-हो-चुकी-है।-इसे-'संभाव्यता'-कहा-जाता-है।P(A):-घटना-A-के-स्वतंत्र-रूप-से-होने-की-संभाव्यता,-जिसे-A-की-'पूर्व-संभाव्यता'-भी-कहा-जाता-है।P(B):-घटना-B-के-स्वतंत्र-रूप-से-होने-की-संभाव्यता।-यह-'मार्जिनल-संभाव्यता'-या-B-के-होने-की-कुल-संभाव्यता-है।
वास्तविक-जीवन-उदाहरण
मान-लीजिए-आप-एक-डॉक्टर-हैं-जो-एक-मरीज-में-एक-विशेष-बीमारी-होने-की-संभाव्यता-का-मूल्यांकन-कर-रहे-हैं-एक-निदान-परीक्षण-के-परिणाम-पर-आधारित।
मान-लें:
- बीमारी-होने-की-संभाव्यता-(P(A))-1%-या-0.01-है।
- यदि-आपके-पास-वास्तव-में-बीमारी-है-तो-पॉजिटिव-परीक्षण-की-संभाव्यता-(P(B|A))-99%-या-0.99-है।
- चाहे-बीमारी-हो-या-न-हो,-पॉजिटिव-परीक्षण-की-संभाव्यता-(P(B))-5%-या-0.05-है।
बेयेस-प्रमेय-का-उपयोग-करते-हुए,-हम-P(A|B)-की-गणना-कर-सकते-हैं,-जो-पॉजिटिव-परीक्षण-परिणाम-दिए-जाने-पर-बीमारी-होने-की-संभाव्यता-है:
P(A|B)-=-(P(B|A)-*-P(A))-/-P(B)-=-(0.99-*-0.01)-/-0.05-=-0.198इसलिए,-पॉजिटिव-परीक्षण-परिणाम-के-साथ,-लगभग-19.8%-संभावना-है-कि-मरीज-को-वास्तव-में-बीमारी-है।-यह-दिखाता-है-कि-बेयेसियन-अनुमान-अक्सर-प्रतिवृत्ती-परिणाम-दे-सकता-है।
डेटा-प्रमाणीकरण-और-मापन
यह-आवश्यक-है-कि-बेयेस-प्रमेय-में-प्रयुक्त-संभाव्यताएं-मान्य-हों:
- संभाव्यताएं-0-और-1-के-बीच-होनी-चाहिए।
- P(B)-शून्य-नहीं-होना-चाहिए,-क्योंकि-यह-हर-को-शून्य-बना-देता-है-और-गणना-को-बाधित-करता-है।
बेयेस-प्रमेय-के-बारे-में-सामान्य-प्रश्न
Q:-वास्तविक-दुनिया-में-किन-अनुप्रयोगों-का-उपयोग-बेयेस-प्रमेय-का-लाभ-उठाता-है?
A:-बेयेस-प्रमेय-का-व्यापक-उपयोग-विभिन्न-क्षेत्रों-में-होता-है-जैसे-चिकित्सा-निदान,-स्पैम-फ़िल्टरिंग,-और-यहाँ-तक-कि-मशीन-लर्निंग-एल्गोरिदम-में-भी।
Q:-क्या-बेयेस-प्रमेय-अपूर्ण-घटनाओं-के-लिए-इस्तेमाल-किया-जा-सकता-है?
A:-हाँ,-बेयेस-प्रमेय-को-कई-घटनाओं-के-लिए-विस्तारित-किया-जा-सकता-है।-बहुवर्षीय-बेयेस-प्रमेय-सभी-संभावित-परिदृश्यों-पर-विचार-करता-है-और-संभाव्यता-को-तदनुसार-अपडेट-करता-है।
Q:-बेयेस-प्रमेय-पूर्वाग्रह-को-कैसे-संभालता-है?
A:-प्रमेय-पूर्व-विश्वासों-को-(P(A))-शामिल-करता-है-और-नए-साक्ष्य-के-आधार-पर-समायोजित-करता-है।-यह-एक-मजबूत-तंत्र-है-यह-सुनिश्चित-करने-के-लिए-कि-प्रारंभिक-पूर्वाग्रह-समय-के-साथ-पर्याप्त-डेटा-बिंदुओं-के-साथ-सही-हो-जाते-हैं।
सारांश
बेयेस-प्रमेय-सांख्यिकीय-अनुमान-में-एक-कर्णधार-है,-जो-देखे-गए-डेटा-के-आधार-पर-विश्वासों-को-अद्यतन करने के लिए एक तर्कसंगत ढाँचा प्रदान करता है। चाहे आप एक डेटा वैज्ञानिक हों, एक स्वास्थ्य सेवा पेशेवर हों, या सिर्फ एक जिज्ञासु मन हो, बेयेस प्रमेय को समझना विश्लेषणात्मक संभावनाओं की एक दुनिया खोलता है।