बेबीलोनियन-वर्गमूल-की-आकर्षक-दुनिया

सूत्र:x_{n+1}-=-0.5-×-(x_n-+-S/x_n)

सूत्र-का-विवरण

आइए-सूत्र-के-तत्वों-को-तोड़ें:

• S:-वह-संख्या-जिसका-वर्गमूल-हम-प्राप्त-करना-चाहते-हैं।
• x_n:-वर्गमूल-का-वर्तमान-अनुमान।
• x_{n+1}:-वर्गमूल-का-अगला,-अधिक-परिष्कृत-अनुमान।

क्रमागत-प्रक्रिया-तब-तक-जारी-रहती-है-जब-तक-x_{n+1}-x n-के-बहुत-करीब-नहीं-हो-जाता,-यह-सुनिश्चित-करता-है-कि-हम-वास्तविक-वर्गमूल-के-करीब-पहुंच-गए-हैं।

प्राचीन-बाबुल-से-आधुनिक-गणनाओं-तक

कल्पना-करें-कि-आप-25-का-वर्गमूल-निकालने-का-कार्य-करने-वाले-प्राचीन-बेबीलोनियन-हैं।-आपका-पहला-अनुमान-5-हो-सकता-है,-लेकिन-37-जैसी-अधिक-कठिन-संख्या-के-वर्गमूल-की-गणना-के-बारे-में-क्या?

आइए-बेबीलोनियन-विधि-का-उपयोग-करके-sqrt(37)-के-चरणों-से-गुजरते-हैं

स्टेप-बाय-स्टेप-उदाहरण

प्रारंभिक-अनुमान-चुनें:-x₀-=-6

अगला-अनुमान-निकालें:

-x₁-=-0.5-×-(6-+-37/6)-x₁-≈-6.0833

प्रक्रिया-को-दोहराएँ:

-x₂-=-0.5-×-(6.0833-+-37/6.0833)-x₂-≈-6.0828

पुनः-क्रमागत-प्रक्रिया-करें:

-x₃-=-0.5-×-(6.0828-+-37/6.0828)-x₃-≈-6.0828-(संविलीन)

व्यावहारिक-उद्देश्यों-के-लिए,-6.0828-37-के-सच्चे-वर्गमूल-के-काफी-करीब-है।

अनुप्रयोग-और-वास्तविक-जीवन-उदाहरण

यह-विधि-केवल-एक-ऐतिहासिक-जिज्ञासा-नहीं-है;-इसका-आज-भी-व्यावहारिक-अनुप्रयोग-है:

• इंजीनियरिंग:-डिजाइन-में-लंबाई-और-सहनशीलता-की-गणना।
• वित्त:-वेरिएंस-और-मानक-विचलन-के-माध्यम-से-स्टॉक-की-कीमतों-में-अस्थिरता-का-निर्धारण।
• दैनिक-गणित:-गणक-की-आवश्यकता-के-बिना-मानों-का-अनुमान-लगाना।

इंटरएक्टिव-कोड-और-परीक्षण

तकनीक-प्रेमियों-के-लिए,-यहां-बताया-गया-है-कि-आप-इस-विधि-को-JavaScript-में-कैसे-लागू-कर-सकते-हैं:

const-babylonianSquareRoot-=-(s,-initialGuess)-=>-{-if-(typeof-s-!==-'number'-||-typeof-initialGuess-!==-'number')-{-return-'अमान्य-इनपुट:-सुनिश्चित-करें-कि-संख्या-और-प्रारंभिक-अनुमान-दोनों-मान्य-संख्या-हैं।';-}-if-(s-<=-0-||-initialGuess-<=-0)-{-return-'अमान्य-इनपुट:-सुनिश्चित-करें-कि-संख्या-और-प्रारंभिक-अनुमान-दोनों-शून्य-से-बड़े-हैं।';-}-let-x-=-initialGuess;-let-prev;-do-{-prev-=-x;-x-=-0.5-*-(x-+-s-/-x);-}-while-(Math.abs(x---prev)->-1e-10);-return-x;};

यहाँ-बताया-गया-है-कि-आप-इसे-कैसे-परीक्षण-कर-सकते-हैं:

const-tests-=-{-'37,6':-6.082762530298219,-'25,5':-5,-'10,3':-3.1622776601683795,-'13,2':-3.605551275463989,-'0,0':-'अमान्य-इनपुट:-सुनिश्चित-करें-कि-संख्या-और-प्रारंभिक-अनुमान-दोनों-शून्य-से-बड़े-हैं।'};

FAQs

बेबीलोनियन-विधि-का-उपयोग-क्यों-करें?

यह-कुशल,-समझने-में-आसान-और-सही-परिणाम-तक-जल्दी-पहुंच-जाती-है।

क्या-प्रारंभिक-अनुमान-महत्वपूर्ण-है?

हालाँकि-प्रारंभिक-अनुमान-आवश्यक-चरणों-की-संख्या-को-प्रभावित-करता-है,-लगभग-कोई-भी-उचित-अनुमान-सही-वर्गमूल-पर-पहुंच-जाएगा।

यह-विधि-कितनी-सटीक-है?

यह-विधि-अत्यधिक-सटीक-परिणाम-प्रदान-करती-है,-वांछित-सटीकता-तक,-आम-तौर-पर-अधिकांश-व्यावहारिक-उद्देश्यों-के-लिए-पर्याप्त-है।

सारांश

वर्गमूल-की-गणना-के-लिए-बेबीलोनियन-विधि-सिर्फ-अतीत-की-एक-स्मृति-नहीं-है-बल्कि-मानव-सरलता-का-एक-प्रमाण-है।-यह-प्रासंगिक-बना-रहता-है-और-सटीक परिणाम प्रदान करने के लिए आसानी से लागू किया जा सकता है। चाहे वह प्राचीन बेबीलोन हो या आधुनिक गणनाएं, यह सरल लेकिन शक्तिशाली विधि ज्ञात और अज्ञात के बीच की खाई को पाटना जारी रखती है।

Tags: गणित, एल्गोरिदम, प्राचीन विधियाँ, गणना